2. Παραδείγματα πειραμάτων

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε δύο ζάρια και έστω $z_1$ το αποτέλεσμα του πρώτου και $z_2$ το αποτέλεσμα του δεύτερου. Ποια είναι η πιθανότητα να ισχύει $z_1 \le z_2$;
   E1:        
2. Σε ένα πείραμα ρίχνουμε ένα συνηθισμένο ζάρι κι ένα νόμισμα. Όλα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα (ομοιόμορφη κατανομή). Ποια η πιθανότητα του κάθε αποτελέσματος;
   E2:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε δύο ζάρια και έστω $z_1$ το αποτέλεσμα του πρώτου και $z_2$ το αποτέλεσμα του δεύτερου. Ποια είναι η πιθανότητα να ισχύει $z_1 \neq z_2$;
   E3:        
2. Στο ίδιο πείραμα έστω $f(n)=\Prob{z_1+z_2=n}$, για $n=2,3,\ldots,12$.
   Για ποια τιμή του $n$ μεγιστοποιείται η ποσότητα $f(n)$;
   E4:        
   Ποια είναι η μέγιστη τιμή της $f(n)$;
   E5:        
   
3. Στο πείραμα με τα δύο ζάρια, ας είναι $A$ το ενδεχόμενο $\Set{z_1=z_2}$ και $B$ το ενδεχόμενο $\Set{z_1+z_2 \le 8}$. Ο τρόπος αυτός γραφής των δύο ενδεχομένων είναι συντομογραφία των $A = \Set{(z_1, z_2):\ z_1 = z_2}$ και $B = \Set{(z_1, z_2):\ z_1+z_2 \le 8}$. Ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου $A \cap B$ (η πιθανότητα δηλ. να συμβαίνουν και τα δύο ενδεχόμενα);
   E6:        
4. Ρίχνουμε τρία ζάρια. Ποια η πιθανότητα και τα τρία αποτελέσματα να είναι ίδια;
   E7:        
   

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε ένα ζάρι 4 φορές. Αποτέλεσμα του πειράματος είναι ολόκληρη η ακολουθία των αποτελεσμάτων, δηλ. όλες οι ακολουθίες $x_1x_2x_3x_4$ όπου $x_j \in \Set{1,2,3,4,5,6}$ για $j=1,2,3,4$. Πόσα στοιχεία έχει ο δειγματικός χώρος;
   E8:        
2. Παίρνουμε μια συνηθισμένη τράπουλα των 52 φύλλων, την ανακατεύουμε και τραβάμε ένα φύλλο το οποίο και σημειώνουμε. Τοποθετούμε ξανά το φύλλο στην τράπουλα, ανακατεύουμε ξανά και τραβάμε πάλι άλλο ένα φύλλο το οποίο και σημειώνουμε. Αποτέλεσμα του πειράματος είναι το ζεύγος (1ο χαρτί, 2ο χαρτί) που καταγράψαμε. Πόσα στοιχεία έχει ο δειγματικός χώρος;
   E9:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Ρίχνουμε 5 νομίσματα. Ποια η πιθανότητα να είναι όλα ίδια;
   E10:        
2. Ρίχνουμε 6 νομίσματα. Ποια η πιθανότητα η λέξη από Κ,Γ που προκύπτει ως αποτέλεσμα του πειράματος να είναι "παλινδρομική", να διαβάζεται δηλ. το ίδιο από τα αριστερά προς τα δεξιά όπως και από δεξιά προς αριστερά (μια τέτοια λέξη είναι π.χ. η λέξη ΚΓΓΓΓΚ);
   E11:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Αν υποθέσουμε ότι ένα ζευγάρι ενεργεί όπως στο πείραμα που περιγράψαμε (κάνει δηλ. παιδιά μέχρι να κάνει αγόρι, οπότε σταματά), τότε ποια η πιθανότητα ο αριθμός των αγοριών της οικογένειας να ξεπεράσει τον αριθμό των κοριτσιών;
   E12:        
   Ο αριθμός αγοριών και κοριτσιών να είναι ίσος;
   E13:        
   Τα κορίτσια να είναι περισσότερα από τα αγόρια;
   E14:        
2. Αν σας δινόταν η δυνατότητα να στοιχηματίσετε ότι ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας είναι $n$, ποιο είναι το συμφερότερο $n$ για σας;
   E15:        
3. Ρίχνουμε ένα ζάρι συνεχώς μέχρι να φέρουμε 6. Ποια η πιθανότητα ότι θα το ρίξουμε ακριβώς 3 φορές;
   E16:        
4. Ρίχνουμε ένα ζεύγος από ζάρια συνεχώς μέχρι να φέρουμε εξάρες (6 και 6). Ποια η πιθανότητα ότι θα τα ρίξουμε ακριβώς 3 φορές;
   E17:        
   Ποια η πιθανότητα ότι τα ρίξουμε πάνω από 3 φορές;
   E18:        

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Στο πείραμά μας ρίχνουμε ένα νόμισμα άπειρες φορές και με $x_j=$K ή $x_j=$Γ συμβολίζουμε το αποτέλεσμα της $j$-οστής ρίψης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα $D_j = \Set{x_j = x_{j+1} = K}$ και $T_j = \Set{x_j = x_{j+1}}$, για $j=1,2,\ldots$. Αντιστοιχείστε τα ενδεχόμενα (1) $\liminf D_j$, (2) $\limsup D_j$, (3) $\liminf T_j$, (4) $\limsup T_j$ με τα παρακάτω ενδεχόμενα γράφοντας στα κουτάκια παρακάτω τον αριθμό του ενδεχομένου 1-4 που ισούται με το ενδεχόμενο που περιγράφεται.
   
   "Η ακολουθία $x_j$ είναι τελικά Κ ή είναι τελικά Γ"
   E19:        
   "Η ακολουθία $x_j$ περιέχει άπειρες διαδοχικές κορώνες (Κ)"
   E20:        
   "Η ακολουθία $x_j$ ΔΕΝ εναλάσσεται τελικά από Κ σε Γ, ΔΕΝ είναι δηλ. τελικά της μορφής ΚΓΚΓΚΓΚΓΚΓ..."
   E21:        
   "Η ακολουθία $x_j$ είναι τελικά σταθερά Κ"
   E22:        
   

Ερωτήσεις Κατανόησης

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Πόσο κάνει το άθροισμα $\sum_{j=2}^\infty \frac{1}{3^j}$;
   E23:        
2. Πόσο κάνει το άθροισμα $1-\frac12+\frac14-\frac18+\cdots$;
   E24: