Τα ενδεχόμενα A και B (με P[B]>0) είναι μεταξύ τους ξένα. Ποια η πιθανότητα P[A|B]; E1:
Έχουμε P[B]=0.4, P[A|B]=0.2, P[A|Bc]=0.1 (εδώ Bc=Ω∖B είναι το συμπληρωματικό
ενδεχόμενο του B). Ποια η πιθανότητα P[A]; E2:
VIDEO: Υπό συνθήκη πιθανότητα: παραδείγματα
Ερωτήσεις Κατανόησης
Από μια συνηθισμένη τράπουλα με 52 φύλλα τραβάμε δύο φύλλα το ένα μετά το άλλο (χωρίς να τα επανατοποθετούμε).
Ποια η πιθανότητα να τραβήξουμε δύο άσους; E3:
Αν γνωρίζουμε ότι το πρώτο φύλλο είναι άσος τότε ποια η απάντηση στο ερώτημα E3; E4:
Αν γνωρίζουμε ότι το δεύτερο φύλλο είναι άσος τότε ποια η απάντηση στο ερώτημα E3; E5:
Αν γνωρίζουμε ότι το τουλάχιστον ένα από τα δύο φύλλα είναι άσος τότε ποια η απάντηση στο ερώτημα E3; E6:
VIDEO: Τύπος Ολικής Πιθανότητας
Ερωτήσεις Κατανόησης
Ένα δοχείο περιέχει 5 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. Ένα άλλο δοχείο περιέχει 7 άσπρες και 9 μαύρες μπάλες.
Επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα από το πρώτο δοχείο και τη βάζουμε στο δεύτερο.
Έπειτα επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα από το δεύτερο δοχείο.
Ποια η πιθανότητα η τελευταία αυτή μπάλα να είναι άσπρη; E7:
VIDEO: Τύπος του Bayes
Ερωτήσεις Κατανόησης
Ένα κουτί περιέχει 7 μαύρες και 3 άσπρες μπάλες κι ένα άλλο κουτί περιέχει 2 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες.
Επιλέγουμε πρώτα ένα από τα δύο κουτιά στην τύχη και από αυτό επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα.
Αν αυτή η μπάλα είναι μαύρη τότε ποια είναι η πιθανότητα ότι προήλθε από το πρώτο κουτί; E8:
VIDEO: Ανεξαρτησία ενδεχομένων, παραδείγματα
Ερωτήσεις Κατανόησης
Τα ενδεχόμενα A και B είναι ανεξάρτητα και P[A]=0.2, P[B]=0.3. Επαναλαμβάνουμε
το (αντίστοιχο) πείραμα N φορές (μεγάλος αριθμός) και μετράμε x⋅N αποτελέσματα για τα οποία
ισχύει και το A και το B. Ο αριθμός x είναι (περίπου, και για μεγάλα N) ίσος με E9:
Αν P[A]=0.3 και P[B]=0.4 και τα A,B είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα ποια είναι η πιθανότητα
να ισχύει το A και να μην ισχύει το B; E10:
Τα ενδεχόμενα A και A είναι ανεξάρτητα (το ίδιο ενδεχόμενο, ο ορισμός της ανεξαρτησίας δεν απαιτεί διαφορετικά ενδεχόμενα).
Με αυτή την υπόθεση το P[A] μπορεί να πάρει δύο μόνο τιμές. Συμπληρώστε αυτές τις δύο τιμές παρακάτω (μικρότερη πρώτα). E11:
E12:
Σε ένα δοχείο βρίσκονται 100 ίδια σφαιρίδια αριθμημένα από το 1 έως το 100. Τραβάμε ένα σφαιρίδιο και έστω S ο αριθμός του.
Και οι 100 τιμές του S είναι εξίσου πιθανές.
Αν k είναι ένας φυσικός αριθμός ορίζουμε το ενδεχόμενο
Ak= το S είναι πολλαπλάσιο του k.
Ποιος είναι ο ελάχιστος φυσικός k≥3 τέτοιος ώστε τα ενδεχόμενα A2 και Ak είναι ανεξάρτητα; E13:
VIDEO: Ανεξαρτησία πολλών ενδεχομένων
Ερωτήσεις Κατανόησης
Τα τρία ενδεχόμενα A,B,C έχουν πιθανότητες 0.1,0.2,0.3 αντίστοιχα. Επίσης είναι ανεξάρτητα.
Ποια η πιθανότητα να ισχύει το A αλλά τα B και C να μην ισχύουν; E14:
VIDEO: Ρίψεις δύο νομισμάτων και κατανομή
Ερωτήσεις Κατανόησης
Ρίχνουμε δύο νομίσματα. Η κατανομή πιθανότητας στα στοιχεία ΚΚ, ΚΓ,ΓΚ, ΓΓ του δειγματικού χώρου Ω είναι, με αυτή τη σειρά, η
0.1, 0.2, 0.4, 0.3
Ποια η πιθανότητα τα δύο νομίσματα να φέρουν το ίδιο αποτέλεσμα; E15:
Ποια η πιθανότητα το πρώτο νόμισμα να είναι κορώνα; E16:
VIDEO: Δύο ασύμμετρα ζάρια
Ερωτήσεις Κατανόησης
Ρίχνουμε δύο ζάρια.
Η κατανομή πιθανότητας στα αποτελέσματα 1, 2, 3, 4, 5, 6 του πρώτου ζαριού είναι, με αυτή σειρά, η
0.1, 0.1, 0.3, 0.3, 0.1, 0,1
και του δεύτερου ζαριού η
0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2, 0.2
Αν οι δύο ρίψεις είναι ανεξάρτητες τότε ποια η πιθανότητα να φέρουμε τα αποτελέσματα 3,2; E17:
Ποια η πιθανότητα το πρώτο ζάρι να είναι το πολύ 3 και το δεύτερο ζάρι να είναι τουλάχιστον 4; E18:
Ποια η πιθανότητα τα δύο αποτελέσματα να είναι ίδια; E19:
Ποια η πιθανότητα τα δύο αποτελέσματα να είναι διαφορετικά; E20: