$\newcommand{\Prob}[1]{{{\mathbb{P}}\left[{#1}\right]}}$ $\newcommand{\Mean}[1]{{{\mathbb{E}}\left[{#1}\right]}}$ $\newcommand{\Cov}{{\mathrm{Cov}}}$ $\newcommand{\Set}[1]{{\left\{{#1}\right\}}}$ $\newcommand{\PP}{{\mathbb P}}$ $\newcommand{\RR}{{\mathbb R}}$ $\newcommand{\CC}{{\mathbb C}}$ $\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}$ $\newcommand{\NN}{{\mathbb N}}$ $\newcommand{\TT}{{\mathbb T}}$ $\newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}}$ $\newcommand{\One}[1]{{\bf 1}\left(#1\right)}$ $\newcommand{\one}{{\bf 1}}$ $\newcommand{\Ds}{\displaystyle}$

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ   -   ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι   -   ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2012-13

Κεντρική σελίδα για διαλέξεις Πιθανοτήτων σε video

4. Μέθοδοι απαρίθμησης

Μιχάλης Κολουντζάκης

Άνοιξη 2012-13


VIDEO: Αρχή πολλαπλασιασμού ανεξάρτητων επιλογών


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Από μια συνηθισμένη τράπουλα επιλέγουμε ένα χαρτί, το γράφουμε κάτω, το επανατοποθετούμε μέσα στην τράπουλα, ανακατεύουμε, και παίρνουμε κι ένα δεύτερο χαρτί το οποίο επίσης καταγράφουμε. Πόσα τα δυνατά αποτελέσματα αυτού του πειράματος;
    E1:      info   calculator
  2. Σε ένα καφενείο φτιάχνουν Πόσα διαφορετικά ποτά φτιάχνει το καφενείο;
    E2:      info   calculator

VIDEO: Αρχή πολλαπλασιασμού ανεξάρτητων επιλογών. Παραδείγματα.


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Ένα μόριο DNA είναι ουσιαστικά μια πεπερασμένη ακολουθία από τα σύμβολα A,C,G,T. Αν ο αριθμός αυτών των ακολουθιών μήκους $n$ είναι $a^n$ τότε ποια η τιμή του $a$;
    E3:      info   calculator
  2. Πόσες συναρτήσεις υπάρχουν από το σύνολο $\Set{1,2,3,4,5}$ στον εαυτό του;
    E4:      info   calculator hint
  3. Πόσα ζεύγη $(a,b)$ υπάρχουν όπου $a, b \in \Set{1,2,\ldots, 100}$ και $a < b$;
    E5:      info   calculator hint
  4. Πόσα υποσύνολα $A, B \subseteq \Set{1,2,\ldots,10}$ υπάρχουν τέτοια ώστε $A\subseteq B$;
    E6:      info   calculator hint

VIDEO: Αρχή πολλαπλασιασμού ημιανεξαρτήτων επιλογών. Παραδείγματα. Μεταθέσεις.


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Μια 10μελής ομάδα επιλέγει τον αρχηγό της και το (διαφορετικό) υπαρχηγό της. Πόσες είναι οι δυνατές επιλογές για το ζεύγος αυτό;
    E7:      info   calculator
  2. Με πόσους τρόπους μπορούν να διαταχθούν τα αντικείμενα 1, 1, 3, 4, 5;
    E8:      info   calculator hint

VIDEO: Συνδυασμοί $n$ αντικειμένων ανά $k$. Διωνυμικοί συντελεστές.


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 4 φύλλα από μια τράπουλα των 52 φύλλων όταν δε μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής;
    E9:      info   calculator
  2. Πόσες 1-1 συναρτήσεις (ένα προς ένα) υπάρχουν από το σύνολο $\Set{a, b, c}$ στο σύνολο $\Set{1,2,\ldots,20}$;
    E10:      info   calculator
  3. Σ' ένα κουτί βρίσκονται 5 κόκκινοι βώλοι με αριθμούς 1, 2, ... , 5, και 5 πράσινοι βώλοι με αριθμούς 1, 2, ... , 5. Επιλέγουμε 5 από αυτούς τους 10 βώλους στη σειρά.
    Πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα;
    E11:      info   calculator
    Αν όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά (ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας) τότε ποια είναι η πιθανότητα ο πρώτος πράσινος βώλος που θα επιλεγεί να είναι ο τέταρτος από τους επιλεγέντες;
    E12:      info   calculator hint
  4. Από μια συνηθισμένη τράπουλα επιλέγουμε 6 φύλλα χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά τους.
    Πόσες είναι οι δυνατές εξάδες;
    E13:      info   calculator
    Αν όλα τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά ποια η πιθανότητα η εξάδα που επιλέγεται να έχει ακριβώς 2 σπαθιά;
    E14:      info   calculator
  5. Σ' ένα κουτί υπάρχουν 10 κόκκινοι και 8 πράσινοι βώλοι. Βάζουμε το χέρι μας και πιάνουμε 4 βώλους (δε μας ενδιαφέρει η σειρά). Ποια η πιθανότητα να είναι όλοι κόκκινοι;
    E15:      info   calculator

VIDEO: Το διωνυμικό θεώρημα και κάποιες εφαρμογές


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Ποιος ο συντελεστής του $x^6$ στο πολυώνυμο $(2+x)^8$;
    E16:      info   calculator
  2. Ποιος ο σταθερός όρος στη συνάρτηση $(x+\frac{1}{x})^6$;
    E17:      info   calculator
  3. Εφαρμόστε το διωνυμικό θεώρημα στο $(1+x)^n$ και παραγωγίστε το αποτέλεσμα (και τις δύο μεριές της ισότητας). Χρησιμοποιείστε το αυτό επιλέγοντας κατάλληλα το $x$ για να βρείτε ένα τύπο για το άθροισμα $$ \sum_{k=1}^n k{n \choose k} = {n \choose 1} + 2{n \choose 2} + 3{n \choose 3} + \cdots + n{n \choose n}. $$ Πόσο κάνει το παραπάνω άθροισμα για $n=11$;
    E18:      info   calculator

VIDEO: Παράδειγμα: Πόσες εξάδες με τρία σπαθιά


Ερωτήσεις Κατανόησης

  1. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιλέξει κανείς μια τετράδα φύλλων από μια συνηθισμένη τράπουλα (η σειρά των φύλλων δεν έχει σημασία) ώστε δύο από αυτά να είναι κόκκινα και δύο μαύρα;
    E19:      info   calculator
    Ίδιο ερώτημα αν έχει σημασία η σειρά των φύλλων.
    E20:      info   calculator
    Ίδιο ερώτημα αν έχει σημασία η σειρά των κόκκινων φύλλων μεταξύ τους και η σειρά των μαύρων φύλλων μεταξύ τους.
    E21:      info   calculator
  2. Σ'ένα κουτί υπάρχουν 8 άσπροι και 10 μαύροι βώλοι. Βάζουμε το χέρι μας και βγάζουμε 4. Ποια η πιθανότητα να είναι όλοι άσπροι;
    E22:      info   calculator

VIDEO: Συνδυασμοί $k$ από $n$ με επανάθεση


PDF εδώ

Ερωτήσεις Κατανόησης


Κεντρική σελίδα για διαλέξεις Πιθανοτήτων σε video