Δευτέρα 9-11, Παρασκευή 9-11 στην αίθουσα Β212.
Δείτε την ανακοίνωση του μαθήματος εδώ..
Το αντίστοιχο περυσινό μάθημα είναι εδώ. Το φετινό μάθημα θα διαφέρει αρκετά από το περυσινό.
Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα (αλλά δείτε την ανακοίνωση του μαθήματος).
Όσοι συμμετέχουν ενεργά στο μάθημα θα παίρνουν, όποτε πουν κάποια καλή ιδέα που μας οδηγεί σε λύση, από ένα πόντο («καραμέλα») ή και περισσότερους. Ο βαθμός συμμετοχής σας (Σ) θα είναι το πόσους πόντους μαζέψατε στο εξάμηνο διαιρεμένο από ένα αριθμό που θα καθορίσω στο τέλος ανάλογα με το πώς έχει πάει το μάθημα.
Αν είναι F ο βαθμός σας στο τελικό διαγώνισμα τότε ο βαθμός του μαθήματος θα είναι το μέγιστο των F και (F+Σ)/2.
Πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων. Tις ασκήσεις αυτές θα τις συζητάμε σε αρκετές συναντήσεις από δω και πέρα. Δεν είναι από τις «εύκολες» και στο μάθημα θα συζητάμε και άλλου είδους ασκήσεις. Αυτές είναι πιο πολύ για να σας κινήσουν το ενδιαφέρον και να προκαλέσουν κάποια συζήτηση στο μάθημα είτε αν τις έχετε λύσει είτε αν έχετε κολλήσει σε κάποιο σημείο.
Σήμερα λύσαμε διάφορα προβλήματα (όχι από το φυλλάδιο) μέσα στην τάξη. Μοιράστηκαν 4 καραμέλες.
Λύσαμε και σήμερα διάφορα απλά προβλήματα τύπου puzzle. Μεταξύ άλλων λύσαμε και το πρόβλημα
Δείξτε ότι μπορεί κανείς να καλύψει πλήρως το τραπέζι με 400, ενδεχομένως αλληλοκαλυπτόμενα, κέρματα.
του Riemann με τους πρώτους αριθμούς και
είδαμε πώς προκύπτει αυτός.
Μοιράστηκαν 3 καραμέλες.
Μιλήσαμε λίγο για το Πρόβλημα 5 του 1ου φυλλαδίου χωρίς να το λύσουμε. Λύσαμε το Πρόβλημα 7 του φυλλαδίου. Μιλήσαμε επίσης για το πρόβλημα 8 και είδαμε πώς μπορεί κανείς να το λύσει αν γνωρίζει την ύπαρξη της λεγόμενης καμπύλης του Peano.
Μοιράστηκαν 3 καραμέλες.
Δείξαμε (με κάποια βάσανα) ότι αν
και
τότε
.
Έπειτα ασχοληθήκαμε με κάποια κόλπα με τραπουλόχαρτα:
Λύσαμε το Πρόβλημα 6 του πρώτου φυλλαδίου (δείτε και εδώ).
Δώσαμε κάποιες υποδείξεις για τα προβλήματα 4 και 5 του ίδιου φυλλαδίου.
Λύσαμε επίσης το παρακάτω μυστήριο. Στην εικόνα βλέπετε τα ίχνη από 2 ρόδες ποδηλάτου. Προς τα ποια κατεύθυνση κινήθηκε το ποδήλατο;
Μοιράστηκαν 5 καραμέλες.
Λύσαμε το πρόβλημα 8 του πρώτου φυλλαδίου. Μιλήσαμε για ομοιόμορφη σύγκλιση και το πώς η συνέχεια των συναρτήσεων της ακολουθίας μεταβιβάζεται στο όριο και για ακολουθίες συναρτήσεων που είναι ομοιόμορφα Cauchy. Έπειτα δείξαμε πώς να φτιάξουμε μια κατάλληλη ακολουθία συναρτήσεων που να συγκλίνουν ομοιόμορφα και δείξαμε και το γιατί το ομοιόμορφο όριό τους έχει την ιδιότητα που θέλουμε. Εξηγήσαμε πώς με μια παρόμοια διαδικασία μπορεί κανείς να κατασκευάσει μια καμπύλη του Peano, μια συνεχή δηλ. καμπύλη στο επίπεδο που καλύπτει όλόκληρο το μοναδιαίο τετράγωνο.
Λύσαμε επίσης το πρόβλημα Ποιο πολυώνυμο;
Μοιράστηκαν 3 καραμέλες.
Λύσαμε το πρόβλημα 5 του φυλλαδίου όπως και το πρόβλημα 4 (με κάποια ταλαιπωρία).
Μοιράστηκαν 2 καραμέλες.
Λύσαμε το πρόβλημα 4 του φυλλαδίου.
Δόθηκε μια καραμέλα.
Μιλήσαμε ξανά την πρώτη ώρα περί αριθμησιμότητας και χρησιμοποιήσαμε αυτά που μάθαμε για να δείξουμε ότι υπάρχουν υπερβατικοί πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί (που δεν είναι δηλ. ρίζες πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές).
Είδαμε ακόμη διάφορες περιπτώσεις στις οποίες η αριθμησιμότητα έπεται από μια εμφύτευση του συνόλου σ' ένα σύνολο που είναι ήδη γνωστό ότι είναι αριθμήσιμο.
Λύσαμε το πρόβλημα Πώς να μην κρεμάσετε ένα κάδρο και παίξαμε λίγο μ' ένα σχοινί αναφέροντας μερικά πράγματα από τη θεωρία κόμβων (knot theory): πιάστε ένα κομμάτι σχοινί, π.χ. 1m μακρύ, και κρατείστε την κάθε άκρη του με το ένα σας χέρι. Έπειτα, χωρίς να αφήσετε καθόλου την κάθε άκρη, δέστε ένα κόμπο με το σχοινί.
Ασχοληθήκαμε κυρίως με το πρόβλημα 3 του δεύτερου φυλλαδίου, Παιχνίδι μ' ένα τόπι. Με την ευκαιρία αυτού θυμηθήκαμε ορισμένα βασικά πράγματα από τη Γραμμική Άλγεβρα.
Σχετικά με το πρόβλημα 5 του φυλλαδίου είπαμε μερικά πράγματα σχετικά με το πώς υπολογίζει κανείς γρήγορα μεγάλες δυνάμεις ενός ακεραίου και αναφέραμε επίσης το πώς βρίσκει κανείς τη γενική λύση μιας αναδρομικής ακολουθίας με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της αναδρομής.
Μοιράστηκαν κάποιες καραμέλες.
Λύσαμε τα προβλήματα 5, 6, 2 και 1 του 2ου φυλλαδίου.
Μοιράστηκαν κάποιες καραμέλες.
ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τη Δευτέρα 18/11/2013 θα κάνουμε μάθημα μόνο 9-10πμ.
Λύσαμε τα προβλήματα 8 και 9 του 2ου φυλλαδίου και δόθηκε επίσης μια υπόδειξη για το Πρόβλημα 7.
Μοιράστηκαν 2 καραμέλες.
Λύσαμε το πρόβλημα 7 του 2ου φυλλαδίου ασκήσεων. Είδαμε επίσης και μια άλλη χρήση της λεγόμενης πιθανοθεωρητικής μεθόδου (όπου χρησιμοποείται η θεωρία πιθανοτήτων για να λυθεί ένα πρόβλημα που δεν έχει σχέση με πιθανότητες) καθώς και μια μέθοδο με την οποία η πιθανοθεωρητική (και, άρα, υπαρξιακή) απόδειξη μετατρέπεται σε ένα «γρήγορο» αλγόριθμο.
Είπαμε τι σημαίνει «υπολογίσιμη συνάρτηση» και μας έμεινε να δείξουμε ότι υπάρχει συνάρτηση
Μοιράστηκαν κάποιες καραμέλες.
Είδαμε σήμερα ότι οι υπολογίσιμες συναρτήσεις
είναι αριθμήσιμες το πλήθος ενώ όλες οι συναρτήσεις όχι,
άρα δείξαμε έτσι ότι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι υπολογίσιμες. Αναφέραμε κάποια παραδείγματα μη υπολογίσιμων
προβλημάτων όπως το 10ο πρόβλημα του Hilbert. Με την ευκαιρία αυτή είδαμε γιατί το να απαντήσουμε στην ερώτηση αν ένα
ακέραιο πολυώνυμο έχει ακέραια ρίζα είναι επιλύσιμο υπολογιστικά. Είδαμε επίσης σχετικά ότι για δύο ή παραπάνω
μεταβλητές δεν ισχύει η ιδιότητα ότι κάθε πολυώνυμο τείνει στο 
αν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο: φτιάξαμε
ένα αυστηρά θετικό πολυώνυμο σε δύο μεταβλητές που όμως παίρνει οσοδήποτε μικρές θετικές τιμές (αυτό δε μπορεί
να συμβεί σε μία μεταβλητή).
Λύσαμε σήμερα τα προβλήματα 11 και 12 του 3ου φυλλαδίου ασκήσεων.
Λύσαμε σήμερα το Πρόβλημα 8 του 3ου φυλλαδίου και κάναμε κάποιες υποδείξεις για το πρόβλημα 3. Λύσαμε επίσης τα προβλήματα 1 και 2 και με την ευκαιρία του προβλήματος 1 μιλήσαμε λίγο για το πόσο γρήγορα μπορεί κανείς να αναζητήσει ένα αριθμό σε μια ταξινομημένη λίστα αλλά και το πώς μπορεί κανείς γρήγορα να ταξινομήσει μια μεγάλη λίστα αριθμών.
Δόθηκαν 2 καραμέλες.
Λύσαμε το Πρόβλημα 7 του 3ου φυλλαδίου. Κάναμε μια μεγάλη εισαγωγή στο πρόβλημα της παρεμβολής με πολυώνυμα ή με γραμμικούς συνδυασμούς κάποιων συνεχών συναρτήσεων ως προετοιμασία για τη λύση του Προβλήματος 6 του 3ου φυλλαδίου.
Λύσαμε το πρόβλημα 6 του 3ου φυλλαδίου (αδυναμία παρεμβολής στις 2 διαστάσεις) και το πρόβλημα 5 (διοφαντική προσέγγιση του Dirichlet).
Τελειώσαμε το 3ο φυλλάδιο και είδαμε και μερικά ακόμη προβλήματα.
Για όσους παρακολούθησαν ανελλιπώς το μάθημα κατά τη διάρκεια του εξαμήνου η τελική εξέταση θα είναι η παρουσίαση του προβλήματος που έχουν αναλάβει (η ημερομηνία των παρουσιάσεων θα ανακοινωθεί).
Για όσους επιθυμούν να εξεταστούν στο μάθημα χωρίς να το έχουν παρακολουθήσει η εξέταση θα είναι προφορική και θα πρέπει να επικοινωνήσουν μαζί μου για να την κανονίσουν. Στην εξέταση αυτή θα έχουν να λύσουν ένα ή περισσότερα άγνωστα προβλήματα παρόμοια με κάποια από αυτά που μελετήθηκαν κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.
Για όσους επιθυμούν να εξεταστούν στο μάθημα χωρίς να το έχουν παρακολουθήσει η εξέταση θα είναι προφορική και θα πρέπει να επικοινωνήσουν μαζί μου για να την κανονίσουν. Στην εξέταση αυτή θα έχουν να λύσουν ένα ή περισσότερα άγνωστα προβλήματα παρόμοια με κάποια από αυτά που μελετήθηκαν κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.