Θεωρία Πιθανοτήτων (μεταπτυχιακό μάθημα Ε10)

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount@gmail.com

Άνοιξη 2007-08

Περιεχόμενα

• 1 Ωράριο
• 2 Περιγραφή του μαθήματος
• 3 Ημερολόγιο Μαθήματος
  • 3.1 Τρ, 19/2/08: σ-άλγεβρες και επανάληψη σε τοπολογικούς χώρους
    • 3.1.1 Τε, 20/2/08: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Έκτακτο μάθημα αύριο Πέμπτη 1-3, ΡΑ 103
  • 3.2 Πέ, 21/2/08: Ορισμός ολοκληρώματος μη αρνητικών συναρτήσεων
  • 3.3 Πα, 22/2/08: Οριακά θεωρήματα
    • 3.3.1 Τρ, 26/2/08: Μάθημα σήμερα 3-5 στη Θ201.
  • 3.4 Τρ, 26/2/08: Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης και συνέπειες. Μέτρο Lebesgue.
  • 3.5 Τε, 27/2/08: Λύση ασκήσεων
    • 3.5.1 Τε, 27/2/08: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Ώρες μαθήματος
  • 3.6 Πα, 29/2/08: Θ. αναπαράστασης του Riesz. Θ. Lusin. Ανισότητα Jensen
  • 3.7 Δε, 3/3/08: Ανισότητες Hölder και Minkowski. Χώροι .
    • 3.7.1 Τε, 5/3/08: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα στις 7/3/08
  • 3.8 Δε, 10/3/08: Αργία
  • 3.9 Πα, 14/3/08: Θ. Egoroff, Σύγκλιση κατά μέτρο
  • 3.10 Δε, 17/3/08: Στοιχεία χώρων Hilbert
  • 3.11 Πα, 21/3/08: Στοιχεία χώρων Hilbert. Χώροι γινόμενα. Συνέλιξη.
  • 3.12 Δε, 24/3/08: Μετασχηματισμός Fourier
    • 3.12.1 Δε, 24/3/08: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα στις 27/3/08
  • 3.13 Πέ, 27/3/08: Λύση ασκήσεων
  • 3.14 Πα, 28/3/08: Πυρήνας του Gauss. Συνέλιξη
  • 3.15 Δε, 31/3/08: Προσεγγίσεις της μονάδας. Αντιστροφή του μετ. Fourier
  • 3.16 Τε, 2/4/08: Χώροι πιθανοτήτων, τυχαίες μεταβλητές, ανεξαρτησία
  • 3.17 Πα, 18/4/08: Tight ακολουθίες και θεώρημα Helly
  • 3.18 Δε, 5/5/08: Το θεώρημα της συνέχειας
  • 3.19 Πα, 9/5/08: Ενδεχόμενα, Τυχαίες Μεταβλητές, Κατανομές
  • 3.20 Δε, 12/5/08: Διανυσματικές ΤΜ. Maximal ανισότητα Kolmogorov.
  • 3.21 Τρ, 13/5/08: Θεώρημα Τριών Σειρών
  • 3.22 Δε, 19/5/08: Θεώρημα Paley-Zygmund
  • 3.23 Πα, 23/5/08: Κανονικές κατανομές
  • 3.24 Τε, 28/5/08: Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
  • 3.25 Πα, 30/5/08: Κεντρικό οριακό θεώρημα

1 Ωράριο

Δευτέρα 4-6, Παρασκευή 4-6 στην αίθουσα ΡΑ 103. Έναρξη μαθημάτων: 19/2/08.

2 Περιγραφή του μαθήματος

Μπορείτε να βρείτε εδώ την ιστοσελίδα του μαθήματος όπως αυτό διδάχτηκε το φθινόπωρο του 2006/07.

Στις πρώτες εβδομάδες του μαθήματος θα προσπαθήσουμε να καλύψουμε το προαπαιτούμενο υπόβαθρο σε θεωρία μέτρου κυρίως και μετασχηματισμό Fourier.

Στη συνέχεια, στην κυρίως μελέτη πιθανοτήτων, θα έχουμε ως σκοπό μας να αναπτύξουμε τη θεωρία που χρειάζεται ώστε να φτάσουμε στο κεντρικό οριακό θεώρημα.

Αν το επιτρέψει ο χρόνος, ίσως να κάνουμε και διάφορα θέματα, που θα αφορούν κυρίως τη χρήση των Πιθανοτήτων σε άλλους κλάδους των Μαθηματικών (δείτε τη σελίδα του περυσινού μαθήματος για λεπτομέρειες).

3 Ημερολόγιο Μαθήματος

Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τουλάχιστον μετά από κάθε μάθημα και σκοπό έχει να μεταδίδει μερικές βασικές χρήσιμες πληροφορίες για το περιεχόμενο του μαθήματος (π.χ. τι να προσέξετε, υποδείξεις για λύσεις των ασκήσεων, κ.ά.) καθώς και για διαδικαστικά θέματα.

Σπανίως θα βγαίνουν ανακοινώσεις που αφορούν το μάθημα σε χαρτί. Παρακαλώ να συμβουλεύεστε αυτή τη σελίδα τουλάχιστον 2-3 φορές την εβδομάδα.

3.1 Τρ, 19/2/08: σ-άλγεβρες και επανάληψη σε τοπολογικούς χώρους

Δώσαμε τον ορισμό της σ-άλγεβρας υποσυνόλων ενός συνόλου (χώρου) $X$ καθώς και των μετρησίμων συναρτήσεων. Είδαμε ιδιότητες της μετρησιμότητας συναρτήσεων. Ορίσαμε τη σ-άλγεβρα Borel ενός τοπ. χώρου.

Για τα πρώτα μαθήματα όπου θα δώσουμε κάποια στοιχεία θεωρίας μέτρου θα ακολουθήσουμε το βιβλίο το W. Rudin, Real and Complex Analysis. Από το βιβλίο αυτό μάλλον θα κάνουμε το πρώτο κεφάλαιο μόνο. Αυτά που είπαμε στο πρώτο μάθημα αντιστοιχούν περίπου μέχρι εκεί που αρχίζει η παράγραφος για Simple functions.

Σας συνιστώ να διαβάσετε το κείμενο του Ben Green,

A brief review of measure theory.

Δεν περιέχει αποδείξεις. Θα πάρετε όμως μια καλή ιδέα για το αντικείμενο.

3.1.1 Τε, 20/2/08: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Έκτακτο μάθημα αύριο Πέμπτη 1-3, ΡΑ 103

3.2 Πέ, 21/2/08: Ορισμός ολοκληρώματος μη αρνητικών συναρτήσεων

Ορίσαμε τι είναι ένα θετικό μέτρο (μη-αρνητική, σ-προσθετική συνάρτηση ορισμένη πάνω στη σ-άλγεβρα ${\mathcal M}$).

Ορίσαμε τις απλές συναρτήσεις (που παίρνουν πεπερασμένες τιμές), το ολοκλήρωμά τους και μέσω αυτών το ολοκλήρωμα μετρησίμων μη αρνητικών συναρτήσεων.

Σταματήσαμε πριν αναφέρουμε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue.

3.3 Πα, 22/2/08: Οριακά θεωρήματα

Αποδείξαμε το Θεώρημα Μονότονης Σύκλισης του Lebsgue όπως και το Λήμμα του Fatou. Αναφέραμε την έννοια της $L^p$ νόρμας και μετρικής ($p \ge 1$) χωρίς να αποδείξουμε την τριγωνική ανισότητα, όπως και τον χώρο $L^\infty$ και την έννοια του esssup. Σταματήσαμε πριν το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης του Lebsgue.

Ασκήσεις παραδοτέες την Παρασκευή 29/2/08: Από το πρώτο Κεφάλαιο του Rudin: 1b, 3, 4, 7, 10, 12.

Θα προσπαθήσουμε να βρούμε χρόνο την Πέμπτη να συζητήσουμε τουλάχιστον κάποιες από αυτές. Η ώρα της Πέμπτης δεν έχει ακόμη σταθεροποιηθεί. Η επόμενη συνάντησή μας είναι την Τρίτη 26/2/08, 3-5, σε αίθουσα που θα ανακοινωθεί.

3.3.1 Τρ, 26/2/08: Μάθημα σήμερα 3-5 στη Θ201.

3.4 Τρ, 26/2/08: Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης και συνέπειες. Μέτρο Lebesgue.

Αποδείξαμε το θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης του Lebesgue και διάφορα πορίσματα αυτού. Είδαμε τις έννοιες του $\limsup$ και $\liminf$ μιας ακολουθίας συνόλων. Είδαμε ένα θεώρημα (χωρίς απόδειξη) για την ύπαρξη του μέτρου Lebesgue στο ${\mathbf R}^n$ που έχει ορισμένες φυσιολογικές γεωμετρικές ιδιότητες, όπως το ότι είναι αναλλοίωτο ως προς τις μεταφορές και ότι συμφωνεί με την έννοια του όγκου στα ορθογώνια

$$(a_1,b_1) \times \cdots \times (a_n,b_n).$$

Αύριο Τετάρτη θα κάνουμε μάθημα 3-5 σε αίθουσα που θα ανακοινωθεί, κυρίως βοήθεια στη λύση των ασκήσεων που σας έχουν ανατεθεί για την ερχόμενη Παρασκευή.

3.5 Τε, 27/2/08: Λύση ασκήσεων

Σήμερα λύσαμε διάφορες ασκήσεις από το Κεφ. 1 του Rudin.

3.5.1 Τε, 27/2/08: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Ώρες μαθήματος

Οι κανονικές ώρες μαθήματος θα είναι Δε, 4-6, και Πα, 3-5, από την επόμενη εβδομάδα, κατά πάσα πιθανότητα στην ΡΑ 103.

3.6 Πα, 29/2/08: Θ. αναπαράστασης του Riesz. Θ. Lusin. Ανισότητα Jensen

Αναφέραμε χωρίς απόδειξη το θ. αναπαράστασης του Riesz. Είδαμε διάφορα παραδείγματα φραγμένων γραμμικών συναρτησοειδών στον χώρο $C_c(X)$ και των μέτρων που τους αντιστοιχούν.

Αποδείξαμε το θ. Lusin (κάθε μετρήσιμη συνάρτηση μπορεί να ταυτιστεί με μια συνεχή εκτός από μέτρο $\epsilon$).

Δείξαμε επίσης την ανισότητα του Jensen.

Ασκήσεις παραδοτέες στο πρώτο μάθημα της εβδομάδας της 10ης Μαρτίου: Από το δεύτερο Κεφ. του Rudin: 3, 6, 11, 19.

3.7 Δε, 3/3/08: Ανισότητες Hölder και Minkowski. Χώροι $L^p$.

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Jensen δείξαμε τις πολύ σημαντικές ανισότητες Hölder και Minkowski. Δείξαμε την πληρότητα των χώρων $L^p$ καθώς και την πυκνότητα σε αυτούς ( $1 \le p < \infty$) των απλών συναρτήσεων καθώς και των συνεχών συναρτήσεων με συμπαγή φορέα (στην περίπτωση που ο χώρος μέτρου είναι και τοπολογικός και τα μετρήσιμα σύνολα περιλαμβάνουν τα Borel).

Ασκήσεις παραδοτέες την Παρασκευή 14 Μαρτίου, 2008: Από το Κεφ. 3 του Rudin: 3, 7, 8, 10 (μαζί με αυτές που σας ανέθεσα στο μάθημα της προηγούμενης Παρασκευής).

3.7.1 Τε, 5/3/08: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα στις 7/3/08

Δε θα γίνει μάθημα αυτή την Παρασκευή 7/3/08, λόγω απουσίας μου.

3.8 Δε, 10/3/08: Αργία

Σήμερα δεν έγινε μάθημα λόγω της αργίας της Καθαράς Δευτέρας.

3.9 Πα, 14/3/08: Θ. Egoroff, Σύγκλιση κατά μέτρο

Αποδείξαμε το θ. του Egoroff, ότι σε ένα χώρο με πεπερασμένο μέτρο μια ακολουθία συναρτήσεων που συγκλίνει σχεδόν παντού συγκλίνει και ομοιόμορφα στο όριό της αν εξαιρέσουμε ένα κατάλληλο σύνολο σημείων του χώρου, το μέτρο του οποίου μπορεί να είναι οσοδήποτε μικρό.

Είδαμε επίσης την έννοια της σύγκλισης κατά μέτρο μιας ακολουθίας συναρτήσεων σε μια συνάρτηση και τη σχέση της σύγκλισης αυτής με τη σύγκλιση σ.π. καθώς και με τη σύγκλιση κατά $L^p$.

Το φυλλάδιο ασκήσεων που έπρεπε να παραδοθεί σήμερα πήρε παράταση μέχρι την ερχόμενη Δευτέρα 17/3/08. Δόθηκαν υποδείξεις για τις ασκήσεις αυτές.

3.10 Δε, 17/3/08: Στοιχεία χώρων Hilbert

Είδαμε σύντομα τα βασικά στοιχεία για χώρους Hilbert (Κεφ. 4 του Rudin).

Για την επόμενη Δευτέρα λύστε τις ασκήσεις 11, 14, 15 και 20 από το Κεφ. 3 του Rudin.

3.11 Πα, 21/3/08: Στοιχεία χώρων Hilbert. Χώροι γινόμενα. Συνέλιξη.

Τελειώσαμε τη συζήτηση για ορθοκανονικά συστήματα σε χώρους Hilbert και πληρότητα. Είδαμε πώς αυτά εφαρμόζονται στο χώρο $L^2([0,1])$ και το «τριγωνομετρικό» σύστημα ${\left\{{e^{2\pi i n x}: n \in {\mathbf Z}}\right\}}$.

Είδαμε πώς ορίζονται τα μέτρα σε χώρους γινόμενα, το πολύ βασικό θεώρημα του Fubini και εφαρμογή του θεωρήματος του Fubini στην έννοια της συνέλιξης δύο συναρτήσεων του $L^1({\mathbf R})$.

Λύστε τις ασκήσεις από το Κεφ. 7 (Rudin): 3, 4, 5(a-d) (μέχρι την Δευτέρα 31/3/08).

3.12 Δε, 24/3/08: Μετασχηματισμός Fourier

Από σήμερα θα αρχίσουμε να ακολουθούμε το βιβλίο του K. Stromberg, "Probability for Analysts".

Είδαμε τον ορισμό του μεταχηματισμού Fourier $L^1$ συναρτήσεων και πεπερασμένων μέτρων του ${\mathbf R}^d$. Αποδείξαμε ότι είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση και το Θεώρημα Riemann-Lebesgue και είδαμε διάφορες αλγεβρικές ιδιότητες του μετασχηματισμού.

3.12.1 Δε, 24/3/08: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα στις 27/3/08

Θα γίνει μάθημα την Πέμπτη 27/3/08, 3-5μμ, μάλλον στη ΡΑ 103, στο οποίο θα λύσουμε ασκήσεις από αυτές που σας έχουν ανατεθεί.

3.13 Πέ, 27/3/08: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε ασκήσεις από το Κεφ. 3 του Rudin.

3.14 Πα, 28/3/08: Πυρήνας του Gauss. Συνέλιξη

Ορίσαμε τον πυρήνα του Gauss και υπολογίσαμε το μετασχηματισμό Fourier του. Επίσης επεκτείναμε την έννοια της συνέλιξης που ξέραμε (δύο συναρτήσεων στον $L^1({\mathbf R}^d)$) σε συνέλιξη δύο πεπερασμένων μέτρων. Δείξαμε επίσης τον τύπο $\widehat{\mu*\nu}(\xi) = \widehat{\mu}(\xi)\cdot \widehat{\nu}(\xi)$.

3.15 Δε, 31/3/08: Προσεγγίσεις της μονάδας. Αντιστροφή του μετ. Fourier

Ορίσαμε την ασθενή και ασθενή * σύγκλιση μέτρων. Είδαμε θεωρήματα σύγκλισης για όταν συνελλίσουμε ένα αντικείμενο ($L^1$ συνάρτηση, ολικά πεπερασμένο μέτρο) με ένα ``πυρήνα'' $K(x)$ ο οποίος συρρικνώνεται με τρόπο ώστε να προσεγγίζει μια μάζα Dirac στο 0. Χρησιμοποιήσαμε αυτά για να δείξουμε ότι κατάλληλοι τροποποιήσεις του τύπου αντιστροφής του μετασχηματισμού Fourier μπορούν να μας δώσουν πίσω την αρχική συνάρτηση, και δείξαμε έτσι το θεώρημα μοναδικότητας για το μετ. Fourier.

Λύστε τις ασκήσεις από το Κεφ. 1 (Stromberg): 1, 2, 3, 6, 7 (μέχρι την Τρίτη 15/4/08).

3.16 Τε, 2/4/08: Χώροι πιθανοτήτων, τυχαίες μεταβλητές, ανεξαρτησία

Είδαμε το πώς ορίζονται οι διάφορες πιθανοθεωρητικές έννοιες στη γλώσσα της θεωρίας μέτρου.

3.17 Πα, 18/4/08: Tight ακολουθίες και θεώρημα Helly

Είδαμε την έννοια της tight ακολουθίας μέτρων πιθανότητας $\mu_n$ στο ${\mathbf R}^d$ και ότι αυτή είναι αναγκαία για την ασθενή σύγκλιση της ακολουθίας. Επίσης αποδείξαμε το θεώρημα του Helly που λέει ότι μπορούμε πάντα να εξάγουμε μια ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία από κάθε tight ακολουθία μέτρων.

Λύστε τις ασκήσεις από το Κεφ. 2 (Stromberg): 1, 2, 3, 4 (μέχρι τη Δευτέρα 5/5/08).

3.18 Δε, 5/5/08: Το θεώρημα της συνέχειας

Αποδείξαμε το θεώρημα συνέχειας που λέει ότι αν μια ακολουθία μέτρων πιθανότητας έχει μετασχηματισμούς Fourier που συγκλίνουν κατά σημείο σε μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο 0, τότε η ακολουθία συγκλίνει ασθενώς σε ένα μέτρο πιθανότητας του οποίου ο μετ. Fourier είναι αυτή η οριακή συνάρτηση.

3.19 Πα, 9/5/08: Ενδεχόμενα, Τυχαίες Μεταβλητές, Κατανομές

Μιλήσαμε για ανεξαρτησία οικογενειών ενδεχομένων, σ-αλγεβρών και ΤΜ (τυχαίων μεταβλητών).

Δείξαμε το Νόμο 0-1 για tail events, ότι δηλ. αν έχουμε μια ακολουθία από ανεξάρτητες ΤΜ και ένα ενδεχόμενο που εξαρτάται από αυτές μόνο τελικά τότε η πιθανότητά του είναι 0 ή 1.

Δείξαμε το Λήμμα Borel-Cantelli και αναφερθήκαμε στην έννοια της κατανομής μιας ΤΜ. Επίσης δείξαμε ότι η κατανομή αθροίσματος ανεξαρτήτων είναι η συνέλιξη των κατανομών.

Λύστε τις ασκήσεις από το Κεφ. 3 (Stromberg): 5, 12, 13, 14, 17.

3.20 Δε, 12/5/08: Διανυσματικές ΤΜ. Maximal ανισότητα Kolmogorov.

Είδαμε πώς ορίζεται η μέση τιμή μιας ΤΜ $X:\Omega \to {\mathcal H}$, όπου ${\mathcal H}$ ένας χώρος Hilbert, και τις ιδιότητές της.

Αποδείξαμε τη maximal (μεγιστική) ανισότητα του Kolmogorov και τη χρησιμοποιήσαμε για να δείξουμε τη σχεδόν σίγουρη σύγκλιση μιας άπειρης σειράς $\sum_n X_n$, με $X_n \in {\mathcal H}$, η οποία ικανοποιεί $\sum_n \sigma^2(X_n) < \infty$.

3.21 Τρ, 13/5/08: Θεώρημα Τριών Σειρών

Είδαμε την έννοια της συμμετρικοποίησης που μας βοηθάει να χειριστούμε ΤΜ που δεν έχουν μέση τιμή 0, και το θεώρημα τριών σειρών για την σ.σ. σύγκλιση σειρών με ανεξάρτητους όρους.

3.22 Δε, 19/5/08: Θεώρημα Paley-Zygmund

Είδαμε την έννοια της αθροισιμότητας μιας σειράς (π.χ. Cesaro αθροισιμότητα). Δείξαμε το θ. Paley-Zygmund, που λέει ότι για μια σειρά με ανεξάρτητους όρους, και υπό κάποια τεχνική συνθήκη, η σ.σ. αθροισιμότητα συνεπάγεται σ.σ. σύγκλιση.

Λύστε τις ασκήσεις από το Κεφ. 4 (Stromberg): 2, 6, 7, 8, μέχρι την Πα 30/5/08.

3.23 Πα, 23/5/08: Κανονικές κατανομές

Είδαμε τις σημαντικότερες ιδιότητες των κανονικών κατανομών στο ${\mathbf R}^d$.

3.24 Τε, 28/5/08: Χαρακτηριστικές συναρτήσεις

Είδαμε πώς η συμπεριφορά της χαρακτηριστικής συνάρτησης ${{\bf E}\left[{e^{it\cdot X}}\right]}$ μιας ΤΜ $X \in {\mathbf R}^d$ κοντά στο $t=0$ συνδέεται με τις ροπές ${{\bf E}\left[{X^k}\right]}$ της ΤΜ.

3.25 Πα, 30/5/08: Κεντρικό οριακό θεώρημα

Ορίσαμε τη σύγκλιση κατά κατανομή και είδαμε ότι ισοδυναμεί με την κατά σημείο σύγκλιση των χαρακτηριστικών συναρτήσεων.

Αποδείξαμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα των Lindeberg-Levy.