������� � 105. �� 9-11, �� 2-4.
���� ��������: �� 11-13 (� 304)
������ ��� ��������� ����� ����� ������ � ������ ����� ��� ������� ������� (Laws of Large Numbers) ��� ��������� ������� ���������� (Central Limit Theorems).
��'���� ���������� ������ ����������� ������� � ����� �� ���������� ���� �� �������� ��� ���������. ���������� ��� �� �������� ����� ����� ������� ������ (���� ���� ���������� ��� ������������ ��� ���������). �� ���� �� ��������� ��� �������, ����� �� ������ (������ ��� ����������) ���� �� ������� ������� �������� �� ��������� ����������� ��� �����������/������������ ��������� ��� ��������� ��� ������� ������ (���., ����������).
�� ������ ��� �� �������������� ������ �� ����� �� Probability: Theory and Examples, 2� ������, ��� R. Durrett.
������ �������������� �� ������ ��� K. Stromberg Probability for Analysts.
���� ��� �� ������ ��� ������� �������� �� �������� ��������� ���������� �� ����� ��������� ��� ������� �����������, ������ ���� ������� ��� �� �����������. ��' ���� ������� �� ��������������� ���� ������ � �����.
� ���������� ��� �������� �� ����� ��� (�) �� ��������� ���� ��� ������ ��� (�) ��� �� ���� �������� (�� �������� �������� �������� ���� ��������). ������ ������ ������� �� ����� ���� ��� �� ������� �������� �������� ��� ���������������� ��� ���������� ��������� ��� ��������.
������������ ������� ��:
����� �� ������ ��� ������� ��� ������������ ��������� �. ����������� ��� ��������� ���
������� �� �������� ����������� ����������� ��� ������ �� �������� ����������� ���� ����������� �� (���� ����� ������� �� �������� ����������� ���� ����������� ��� �-�������� ��� ������� ��� �� ����� � �-������� ���� �� ).
������� ��� ���� ��� ������� �������, � ������ ����� ��� ���� ��������
��� ���������� Chebyshev. � ����� ����� ���� ��� �� ������ ��� ���������
��� ��� ������������ �� �� ����� ���� ���� ���
���������� �������� ��������, ��� ��������
� �������� ����������� ��� �������� ���� ����������, ���. ��� ����
������ ������ ������� ��������� ��� �. ����������� �� ��������� ������� ��� �����������. ���� ����� ��� ���� ��� �� ����������� ���� �� �������� ��� �������� ��� ������ �� ����� ��������� �� ������ �������, �����������, �������, ������ ���������� ��� �����.
������ ������ �� ����.
������, ��� ����� ���, ���������� �� ���� ��������. �������� ��� ��� ������
�� ����������� ����������� ������ ��� ��� �� ����������� �'��� �����. ����
�� ���������������� ���� ��� ����� ��� ����������� �� ���������� ��� �� �����������
��� ���� ������ �������� ��� �� ����������� ����������� ��� ��� ���� �� ������
�����������. � �� ��� ��� ���������� ��� ����� � ������� ��� ������ ��� ����������,
���� .
������ ���
���
������ ���������� ��� �� �������� ��� , ������ ��� ��� �������� �� ��������
���
�� ������� ��� ������� ��� ���� ���� ������� �������: �� , ����� ����������� ��� �������� �� , ��� , ���� ���� ����������.
��� ���. 46 ��� ������� ����� ��� 1-4, 7,8.
��� ����� ��� ������ ��� �������� ��� �. 5.5 ��� ������� ��� ������ ��� "����������� ��� St. Petersburg". ���� ����� ��� �������� ���� � ���� ���� ��� ������������ ������� ��� �������� ����� ������, ������ ��� ���������� ��� �������� ��� ���� ������ ������ �� �������� ��� �� ������ ���� �� �������� ���� "�� ����� �����". ���� ���� ��� ������ ����� �� ���������� �� ��� �������� ��� ������ �� ������ ����� ��� ��� �� ���� ������, ��� ��� ���������� ���� ��� �� ���� ������ ����� ������, ���� ��� ������ ������ �� �������� ���� �� ���������� �� ������. � ����������� ���� ����� �� �������� �� ����� ��� �. 5.5 ��� ������ ���� ������� ������� ��� ������ ���� ����������. � �������� ������� ���� ���� ������ �� �������� ������ ��� �� ������ ���������.
�� ������� ��� ���������� �� �. Borel-Cantelli:
������� ���' ����� �� ������� 6.7 ��� ����������� ��� � ������ ������ ����� ( ) ����� �������� ������� ��� �� ������ ������ ������� �������.
������ ������� �� ������� 6.8 ��� �������� ��� ���������� ��� ��������������� �. Borel-Cantelli.
���������� ��� �� ���������� 6.2 (record values). �������� ����� ��� ������
� ����������� ��� ������������ ����� ���������. ��� �������� ���� �������
������������� ��� ��� �������� (�� ������ ��������) ��� �� �������
������
���� ��� ������ ����� �� , ���
. ���� �� ���� ����� ������ ��� ����� ����� .
���'����� ������������
��� ���. 52 �������� 6.7 ��� 6.8, ��� ��� ���. 55 �������� 6.10 ��� 6.11.
����������� �� ������ ��� ����������� ��� �� record values. ������ ���������� �� �������� ��� �� head runs: �������� ������� ����� ��� ����� ������� ��� �������� ���� ������ ����� �� ������� ���������� ������� ��� ������� ���� ������ ������. ������� ��� ������ ������� � �������� ���� ����� ����������� �� , ���. �� ������ ����� ��� ��� ������ ��� 1 ��� .
��� ���. 55 ��������: 6.9, 6.13-16
������ ������ ��� �� ������� ��� ����� ������������ (��� ��� ��������, �� ������������ ������������, ��� ��� ���������� ���� ����������� ��� ���) ��� ������ ����� ��� ��� ��������� ������ ���� ��� ������ ���, ���. ��� ������ ���������� ��� ��� ��� ������� (iid), ������ ��� , ������ ��� , ������ ������� (��� ��� ���� ���� ����������, ���� ������ ���� ������ ����).
�� ��������� ��� ��� �� ���� ������ ����������� (���� ����� �� ����� �����������) � ������ ������ �������� ����������� �������� ���� �����. ���� ���� ���������� �� ���� ��� �������� �� ����� ����� ��� �� ��� ��������� ����������� ��������� ���� ����� �� ������ ���� ���� ������� ��� ����������� ����� ��� ��������� ������ ������ ��� ���� ����. �� ���� ���� ��� ����� ��������� ����� ������� ���� ������ 7.1 ��� ������� ��� � ����� ����� �����. ������, � ����������� ��� ����������� ��� ��� ������ ���� ����� ���������� ��������� �� �,�� ���������� - � ����������� ��� ��� ������ ��� �� ����� ��� ������ ��� ������� ��� ��� ������ ����.
�� �������� ����� ������� ������� (��� ���� �������������� ��� ���������� ����� �����, ���� ����� ������������ ��� ������ ��� ����, ���� ����� ��� �������� ��� ������ �������� �����) ������ ��� ������ ���� �� ����������� ������� ����� ���������. ���� �������� ��� ��� ���� ���� ����������� ���������� ��� �� ������ ����� ������������ ����������� �� ��� ���� ��������� ��� -����� ��������� ��� �������.
������ ������ �� ������� Glivenko-Cantelli. �� ������� ������������� ��� ���
����������� �������� (����������� ���. �������� ) ���� ������ ������� �
��������� ��������� ���������
������ ������ ���' ����� �� 0-1 ��� Kolmogorov: �� ����� ��� ������ ��������� ����������� �� ��� ����� ��� ���������� ��� ��������� ���� ������ ��� �� ���� �� ����� ������� ����� ��� �� ����� 0 � 1. ��� ����������, ��� ��������� ����������� �� ���� ���� �� ���������� 0 � 1, ��� �������� ����� ������� ����� ��� ���� ��� ����������. ��� ������ ������� �������� ��� ���������� �����, ���� ����������� �� ������ ��� ����������� ��' �����.
������ ������ ��� ��������� Kolmogorov: �� ����� ����������� �� ����
���� 0 ��� ����������� ������� ���� ����
��������������� ������ ��� ��������� Kolmogorov��� �� ����������� �� ����� ������� ��� �� �������� ������ �� ������������ �����: �� ����������� �� ���� ���� 0 ��� ���� � ����� ��������� ������ �������.
��������� ��� �� ������� ����� ������ ��� Kolmogorov �� ����� ����� �� �������� ����� ������������� ������ �� �������� ��� ����� ������� ��� �� �������� ��� ������ . ������� �� ��� ���� ���������� ��� ���������� ����� (��� ���� �� ��������������� ������).
���� ������� �� ��� �������� ��� ������� ����� ���������� �� ����� ��� Kronecker
����� ������ �� ��� �������� ��� ������� ����� ��������������� ���� ��� ������ ������.
������ ������ ��� ����, ���������� ��������, ������ ��� ������� �����:
�� ����������� ��� �������� �� ���� ���� 0 ���
,
���
����, ��� ���� ,
�������� 7.3, 8.1, 8.3, 8.4 ��� 8.5
����������� �� ��������.
����������: ���� ������ ��� ���� ������ .
�� ������� ���� ��������������� ��������� �� ���������� ������������ ����� ��� ����� ������� ��������. ��� �� ���������� ���� ������ �������� ��������� ���, ������ ��� ������ ��� �� �������� ������� ��� Erdos.
������ ���������� ��� �� ��� ��� �� ����������� ��� �������� ��� �������� ���������� ��� Erdos.
���������� �� �������� ���� ���� �������� ��� ���������� Chernoff. ������������ ��� �������� ��� ������ "The Probabilistic Method" ��� N. Alon ��� J. Spencer (Appendix).
������ ������� �� �������������� Fourier ����������� ��� ����� ������������ ������ ��� . ������ ��� �� ��� ����� ���������� �������� ��� ��������� ����������� ��� ��� (Riemann-Lebesgue) (�� ���� ��� ������ ��� �� ).
������� ��� ������ ��� Gauss ��� ����������� �� ��������������
Fourier ���
������� �� �������� �����������, ���� ���������� �� ���� ������ �����
��� ��� ������ ��� ������ �� ������ ���������
��� �� ��� ���� �� ����������� �� ������ ��� K. Stromberg Probability for Analysts.
������ ��������� ��� ��������� ����� ��� ��� ������ �������� ��� �������� * ��������� ������. ������ ��� � �������� �� ���������� ��� ������� ��������� (��� �������� �������) ��� ����������� ��� ������������ �� ��� ���������� (�. 1.9). ���� ������ ��� "�������������" �� ������. Fourier �� summability, ������ �� ����� ��� ����� ��� �� ������������ ��� ���������������. ������ ��� ���� ����������� ���� ��� � ������. Fourier ����� �������������, ����� ��� ��� ������ ��� Dini, ��� ��� ����� ��� ����� �������� ��� �� �������� �� ��������������� ��� �������� �� ��� ������ ����������� �� ������. Fourier ��� ����������. � ���� ��� ��������� �������� ��� ��� ���������� ���� ���� ���� �� ���������, ��� ��� ��� �������������� ���, ���� � ����� ����������� (��� ������� � ��������������� �� ����� �������������).
��� �� ���. 14 ��� ������� (Stromberg): 1-4, 6, 7, 10, 11.
������ �� ����� ����������� �������� �� ��������� ��� ����������� ��� �������. ������� ���� ��� ��������� ������ ����������� ������� tight (���� �� ����� ����� ����� ���� ��� ��� ������� ������� ���������� ��� ��� �� . ����� ������ �� ������� ��� Helly: �� � ��������� ������ ����������� ����� tight ���� ���� ������� ����������� �����������.
�� ���������� ��� ���� ����� � ����� ��� ���������� ������������� ���
Riesz ��� ��������������� ���� ����������: �� ����� ��� ��������
�������� �������������� ��� ����
(� ������ ���� ��� ����������
����� - ��������, � ����� ��� ����� ������) ���� ������� ��� �����
��� �� �������� ����� ������� ������ ���� ��� ����
������
������ ������� �� ��������� ����� ��� �. ��������� ��� P. Levy. ������� ��� �� �� ����� ����� ����������� ��� ��� �.�. ��� , ���� �� ������� ��� 0 � ��������� ����� tight.
��� ��� �������� ��������������� ������ ������� Fourier. ���������� ���
������ ��� Fejer
� ������ ���� �� ��������� ��������
�� ���� �� �������� . ���������� �� ���� ��� ������
���� �� ��� �������� (������ ��� �������� ���� ��� ��� ��������-��� �������
������ ������ ���� ������) ���� �� ���� ��� ��� ��������
��� �� ���. 26 ��� ������� (Stromberg): 2, 3, 4, 6, 7, 9.
���������� ��� �������� ��� �. ��������� ��� Levy. ������ ��� ���� ����������� ��� �� ������ ����� ����������� ��� ���������� ���� ������ �� ������ ���� ����� �����������, ���� ���������� �� ���� ���������� ��� ������� ��� ��� �������.
�������� �� �������� ��� ��� ���������� ������ ��������� ��� ��������� ������ �����������.
���������� ������ �� �������� ��� ��������� ��� �� �� �������� ��������.
������ ��� ����� ��������������� ��� �� �������������� ���� ���������
(�������������� Fourier ��� ��������� ����) � ����� ������ �� ����� ���
������
������ ������� ��� �������� �� ������������ ��� ���������� ��� ��������������� ���������� ���� �� ���� ��� ����� ��� (��� ����� ��� ��������� ��� ).
��������������� ���� ��� �� �������� �� �������� ������ ������� Lindeberg-Levy.
������ ������������ �� ���� �������� ���� �� �������� ��� ��������� (����� ��� ������� 14 ��� �������).
��� �� ���. 106 ��� ������� (Stromberg): 1, 2, 3, 14, 17, 18, 20, 22.
��� ������ ������� universal in measure �� ��� ���� ������ �� ������ ����� ������� ��� ��� ������ ���� . ������� ������ ��� ����������� �������� ��������� ��� ���� �� ���� ������ ������� ������.
��������� ��� �������� ���� ������� ���������� ���� ������� �� ������ ����� ������ ������ ������ ��� ��� �� ����������� ������ ����� universal in measure. ������� ��� ������� ��� Erdos ��� ���� ��� ��� �������� ������ ������ ��� �� ����� universal. ���� ��� ���� ����������.
������� ������ ��� ��������������� ���������, ��������� ���� ������� ������� ,
��� ������������ ��� ������ ������� ������ �.�.
�� ������
�������� �� ������ ��� ������������ �� ���� ��� ��� �������.
������� ���'����� �� �������� ���� ������� �������:
��������������� ���� ������� �� �������� ������� ��� ����� �� �������������� ���������:
��������������� ����� �� ������� Salem- Zygmund ��� �� �������
��� ��������������� ��������� ��� ��� �������������� ���������
������������ ������������ ���.
������ ��������������� ��� ��������� ��� �. Salem- Zygmund��� �� �������� ��� ���� �������:
������� ������ �� ������ ��� ����������� ��� ������� (method of conditional probabilities) ��� ��� ����������� ��������� ������������ ��� ������ � ������ ���� ���������� ���������������. ����� ��� ���� ������� ��������� �������, ��� ��������� ������ ����� �� ������������ ������ ������� �� ����������� ����.