������ ����������� (������������ ������)

������� ������������

����� �����������
������������ ������
�������� ������
714 09 ��������

E-mail: mk@fourier.math.uoc.gr

������ 2001-02


�����������

1 ������

������� � 105. �� 9-11, �� 2-4.

���� ��������: �� 11-13 (� 304)

2 ��������� ��� ���������

������ ��� ��������� ����� ����� ������ � ������ ����� ��� ������� ������� (Laws of Large Numbers) ��� ��������� ������� ���������� (Central Limit Theorems).

��'���� ���������� ������ ����������� ������� � ����� �� ���������� ���� �� �������� ��� ���������. ���������� ��� �� �������� ����� ����� ������� ������ (���� ���� ���������� ��� ������������ ��� ���������). �� ���� �� ��������� ��� �������, ����� �� ������ (������ ��� ����������) ���� �� ������� ������� �������� �� ��������� ����������� ��� �����������/������������ ��������� ��� ��������� ��� ������� ������ (���., ����������).

�� ������ ��� �� �������������� ������ �� ����� �� Probability: Theory and Examples, 2� ������, ��� R. Durrett.

������ �������������� �� ������ ��� K. Stromberg Probability for Analysts.

���� ��� �� ������ ��� ������� �������� �� �������� ��������� ���������� �� ����� ��������� ��� ������� �����������, ������ ���� ������� ��� �� �����������. ��' ���� ������� �� ��������������� ���� ������ � �����.

3 ����������� ������� - ���������

� ���������� ��� �������� �� ����� ��� (�) �� ��������� ���� ��� ������ ��� (�) ��� �� ���� �������� (�� �������� �������� �������� ���� ��������). ������ ������ ������� �� ����� ���� ��� �� ������� �������� �������� ��� ���������������� ��� ���������� ��������� ��� ��������.

4 ���������� ���������

4.1 ��, 12/2/02: ����������

������������ ������� ��:

4.2 1� �������

����� �� ������ ��� ������� ��� ������������ ��������� �. ����������� ��� ��������� ���

4.3 ��, 13/2/02: �����������, $L^2$ ����� ������� �������

������� �� �������� ����������� ����������� ��� ������ �� �������� ����������� ���� ����������� �� (���� ����� ������� �� �������� ����������� ���� ����������� ��� �-�������� ��� ������� ��� �� ����� � �-������� ���� �� $X$).

������� ��� $L^2$ ���� ��� ������� �������, � ������ ����� ��� ���� �������� ��� ���������� Chebyshev. � ����� ����� ���� ��� �� ������ ��� ��������� ��� ��� ������������ �� $X_i$ �� ����� ���� ���� $\mu$ ��� ���������� �������� ��������, ��� ��������

\begin{displaymath}
S_n = X_1 + \cdots + X_n
\end{displaymath}

���� � �� $S_n / n$ ��������� ��� ������� $\mu$ ���� $L^2$. ������

\begin{displaymath}
{{\bf E}\left[{({1\over n} S_n - \mu)^2}\right]} \to 0.   (n\to\infty).
\end{displaymath}

$L^2$ �������� ����������� ��� �������� ���� ����������, ���. ��� ���� $\epsilon>0$

\begin{displaymath}
{{\bf {Pr}}\left[{{\left\vert{{1\over n} S_n - \mu}\right\vert} > \epsilon }\right]} \to 0.
\end{displaymath}

4.4 ��, 19/2/02: ��������� �� ������ ������� ��� �����������

������ ������ ������� ��������� ��� �. ����������� �� ��������� ������� ��� �����������. ���� ����� ��� ���� ��� �� ����������� ���� �� �������� ��� �������� ��� ������ �� ����� ��������� �� ������ �������, �����������, �������, ������ ���������� ��� �����.

������ ������ �� ����.

  1. ��������������� ��� ��������� ��� ����� ����� ��� �� �������� ��� ���� ������ $B$ ��� $N$ ������������� �������� �������� �������� ��� ��������� $A$ �� ������� ����������� $N/3$ ���� ��� ����� ��������� � ������� $x+y=z$ ��� ���� ����. ������ ������ ����������� sum-free ��� ���� ����� ��� ������� ��� Erdos.
  2. �� ��������� ��� ����� ����� ���� ������ ������� ��� ������ ������ �� ���������� �� ��� ������� ��� ����� ��� ������� ���������� �� $n$ ������� ���� � ������� ��� �������������� �������� ��� ���������� �� ����� �� ���� ${n \choose 3} / 4$.
  3. ��������������� ��� ������ ���� ��� ������� ������� ��� �� �������� �� ������� ��� Weierstrass(���� ������� ��������� �� ������� �������� ������������� ���������� ��� ���������).
  4. ������� ��� ��� $n\to\infty$ "�� �����������" ������ ��� ����� $Q_n = (-1,1)^n$ ����� ��������� ����� ������� �� $\sqrt{({1\over 3}-\epsilon)n}$ ��� $\sqrt{({1\over 3}+\epsilon)n}$. �� ����������� (�� ����) ������ ������ ��� ����� ���������� ������������� ���� ����� �� ��� ������. ��� ���� ���� �������� ��� ������ ����� ��� ������� �������.

4.5 ��, 20/2/02: �� �������� ��� �������� ���������. � ������� ����� ��� ������� ������� ��� $L^1$ ��

������, ��� ����� ���, ���������� �� ���� ��������. �������� ��� ��� ������ �� $N$ ����������� ����������� ������ ��� ��� �� ����������� �'��� �����. ���� �� ���������������� ���� ��� ����� ��� ����������� �� ���������� ��� �� ����������� ��� ���� ������ �������� ��� �� $N$ ����������� ����������� ��� ��� ���� �� ������ �����������. � �� ��� ��� ���������� ��� ����� � ������� ��� ������ ��� ����������, ���� $T_N$. ������ ��� ${{\bf E}\left[{T_N}\right]} = N \sum_{k=1}^N {1\over k} \sim N \log N$ ��� ������ ���������� ��� �� �������� ��� $T_N$, ������ ��� ��� �������� �� �������� ���

\begin{displaymath}
(T_N - {{\bf E}\left[{T_N}\right]})/\sqrt{N \log N} \to 0,
\end{displaymath}

���� ����������.

�� ������� ��� ������� ��� ���� ���� ������� �������: �� $X_1, X_2, \ldots$, ����� ����������� ��� �������� �� ${{\bf E}\left[{{\left\vert{X_i}\right\vert}}\right]}<\infty$, ��� $S_n = X_1+\cdots+X_n$, ���� $S_n / n \to \mu = {{\bf E}\left[{X_1}\right]}$ ���� ����������.

4.6 2� �������

��� ���. 46 ��� ������� ����� ��� 1-4, 7,8.

4.7 ��, 26/2/02: �� ������� Borel-Cantelli

��� ����� ��� ������ ��� �������� ��� �. 5.5 ��� ������� ��� ������ ��� "����������� ��� St. Petersburg". ���� ����� ��� �������� ���� � ���� ���� ��� ������������ ������� ��� �������� ����� ������, ������ ��� ���������� ��� �������� ��� ���� ������ ������ �� �������� ��� �� ������ ���� �� �������� ���� "�� ����� �����". ���� ���� ��� ������ ����� �� ���������� �� ��� �������� ��� ������ �� ������ ����� ��� ��� �� ���� ������, ��� ��� ���������� ���� ��� �� ���� ������ ����� ������, ���� ��� ������ ������ �� �������� ���� �� ���������� �� ������. � ����������� ���� ����� �� �������� �� ����� ��� �. 5.5 ��� ������ ���� ������� ������� ��� ������ $(S_n - a_n) / b_n \to 0$ ���� ����������. � �������� $a_n$ ������� ���� ���� ������ �� �������� ������ ��� �� ������ $n$ ���������.

�� ������� ��� ���������� �� �. Borel-Cantelli:

������� 1 (�)   �� $A_n$ ����� ��� ��������� ��� ���������� �� $\sum_n{{\bf {Pr}}\left[{A_n}\right]}<\infty$ ���� � ���������� �� ������� ������ ��� �� $A_n$ ����� 0.
(�) �� $A_n$ ����� ��� ��������� ��� ���������� ���������� �� $\sum_n{{\bf {Pr}}\left[{A_n}\right]}=\infty$ ���� �� ���������� 1 ������� ������ ��� ����.

4.8 ��, 28/2/02: ���������� �. Borel-Cantelli, ������ ������� ����� (record values)

������� ���' ����� �� ������� 6.7 ��� ����������� ��� � ������ ������ ����� ( ${{\bf E}\left[{{\left\vert{X}\right\vert}}\right]}<\infty$) ����� �������� ������� ��� �� ������ ������ ������� �������.

������ ������� �� ������� 6.8 ��� �������� ��� ���������� ��� ��������������� �. Borel-Cantelli.

���������� ��� �� ���������� 6.2 (record values). �������� ����� ��� ������ � ����������� ��� ������������ ����� ���������. ��� �������� ���� ������� ������������� ��� ��� �������� (�� ������ ��������) ��� �� ������� ������ $k \in {\mathbf N}$ ���� ��� ������ ����� �� $X_k > X_j$, ��� $j=1,2,\ldots,k-1$. ���� $R_n$ �� ���� ����� ������ ��� ����� ����� $n$. ���'����� ������������

\begin{displaymath}
{{\bf E}\left[{R_n}\right]} = \sum_{k=1}^n {1\over k} \sim \log n.
\end{displaymath}

������ ��������� (��� ���� ���� ������ ������� ��� �� ������ ��� ����� ������ �������) ��� �� ����������

\begin{displaymath}
A_k = {\left\{{X_k > X_j, \forall j<k}\right\}},  (k\in{\mathbf N}),
\end{displaymath}

����� ����������. ���� ��� ���� �������������� �� ������� 6.8 (���������� Borel-Cantelli) ��� �� �������� ���

\begin{displaymath}
R_n / \log n \to 1,
\end{displaymath}

������ �������.

4.9 3� �������

��� ���. 52 �������� 6.7 ��� 6.8, ��� ��� ���. 55 �������� 6.10 ��� 6.11.

4.10 ��, 7/03/02: Record Values (����) ��� Head Runs

����������� �� ������ ��� ����������� ��� �� record values. ������ ���������� �� �������� ��� �� head runs: �������� ������� ����� ��� ����� ������� ��� �������� ���� ������ ����� �� ������� ���������� ������� ��� ������� ���� $n$ ������ ������. ������� ��� ������ ������� � �������� ���� ����� ����������� �� $\log n$, ���. �� ������ ����� ��� ��� $\log n$ ������ ��� 1 ��� $n\to\infty$.

4.11 4� �������

��� ���. 55 ��������: 6.9, 6.13-16

4.12 ��, 12/03/02: ������� ����� ������� �������. ���������.

������ ������ ��� �� ������� ��� ����� ������������ (��� ��� ��������, �� ������������ ������������, ��� ��� ���������� ���� ����������� ��� ���) ��� ������ ����� ��� ��� ��������� ������ ���� ��� ������ ���, ���. ��� ������ $X_i$ ���������� ��� ��� ��� ������� (iid), ������ ${{\bf E}\left[{X_1}\right]} < \infty$ ��� $S_n = X_1+\cdots+X_n$, ������ ��� $S_n /n \to {{\bf E}\left[{X_1}\right]}$, ������ ������� (��� ��� ���� ���� ����������, ���� ������ ���� ������ ����).

�� ��������� ��� ��� �� ���� ������ ����������� (���� ����� �� ����� �����������) � ������ ������ �������� ����������� �������� ���� �����. ���� ���� ���������� �� ���� ��� �������� �� ����� ����� ��� �� ��� ��������� ����������� ��������� ���� ����� �� ������ ���� ���� ������� ��� ����������� ����� ��� ��������� ������ ������ ��� ���� ����. �� ���� ���� ��� ����� ��������� ����� ������� ���� ������ 7.1 ��� ������� ��� � ����� ����� �����. ������, � ����������� ��� ����������� ��� ��� ������ ���� ����� ���������� ��������� �� �,�� ���������� - � ����������� ��� ��� ������ ��� �� ����� ��� ������ ��� ������� ��� ��� ������ ����.

�� �������� ����� ������� ������� (��� ���� �������������� ��� ���������� ����� �����, ���� ����� ������������ ��� ������ ��� ����, ���� ����� ��� �������� ��� ������ �������� �����) ������ ��� ������ ���� �� ����������� ������� ����� ���������. ���� �������� ��� ��� ���� ���� ����������� ���������� $b=2,3,\ldots$ ��� �� ������ ����� $0,1,\ldots,b-1$ ������������ ����������� �� ��� ���� ��������� ��� $b$-����� ��������� ��� �������.

������ ������ �� ������� Glivenko-Cantelli. �� ������� ������������� ��� ��� ����������� �������� (����������� ���. �������� $F$) ���� ������ ������� � ��������� ��������� ���������

\begin{displaymath}
F_n(x) = {1 \over n} \sum_{k=1}^n {\bf 1}\left( X_k \le x \right),
\end{displaymath}

��������� ���������� ��� ${\mathbf R}$ ���� ���������� ��������� �������� $F$. ������ ��� �������� ���� ���� � $F$ ����� ������� ���������, ���� � ����� ��� ������� ��������� ��� ��� ������ ���������.

4.13 ��, 14/03/02: ������� �������� ��� ������� ����� �� �������� ������

������ ������ ���' ����� �� 0-1 ��� Kolmogorov: �� $X_1, X_2, \ldots$ ����� ��� ������ ��������� ����������� �� ��� $A$ ����� ��� ���������� ��� ��������� ���� ������ ��� �� $X_i$ ���� �� ����� ������� ����� ��� �� ${{\bf {Pr}}\left[{A}\right]}$ ����� 0 � 1. ��� ����������, ��� ��������� ����������� �� ���� ���� �� ���������� 0 � 1, ��� �������� ����� ������� ����� ��� ���� ��� ����������. ��� ������ ������� �������� ��� ���������� �����, ���� ����������� �� ������ ��� ����������� ��' �����.

������ ������ ��� ��������� Kolmogorov: �� $X_i$ ����� ����������� �� ���� ���� 0 ��� ����������� ������� ���� ����

\begin{displaymath}
{{\bf {Pr}}\left[{\max_{k=1,\ldots,n}{\left\vert{S_k}\right\vert} \ge x}\right]} \le x^{-2}{{\bf Var}\left[{S_n}\right]},
\end{displaymath}

��� $S_k = X_1+\cdots+X_k$ ��� $x>0$. � ��������� Chebyshev ��� ����� ��� ���� ��������� ���� ���� ��� �� ��������� �������� $S_n$.

��������������� ������ ��� ��������� Kolmogorov��� �� ����������� �� ����� ������� ��� �� �������� ������ �� ������������ �����: �� $X_i$ ����������� �� ���� ���� 0 ��� $\sum_{n=1}^\infty {{\bf Var}\left[{X_n}\right]} < \infty$ ���� � ����� $\sum_{k=1}^\infty X_k$ ��������� ������ �������.

��������� ��� �� ������� ����� ������ ��� Kolmogorov �� ����� ����� �� �������� ����� ������������� ������ �� �������� ��� ����� ������� ��� �� �������� ��� ������ $\sum_n X_n$. ������� �� ��� ���� ���������� ��� ���������� ����� (��� ���� �� ��������������� ������).

���� ������� �� ��� �������� ��� ������� ����� ���������� �� ����� ��� Kronecker

\begin{displaymath}
a_{n+1}\ge a_n, a_n \to \infty, \sum{x_n\over a_n} = a \in {\mathbf R}
\Longrightarrow
{1\over a_n}\sum_{m=1}^n x_m \to 0.
\end{displaymath}

����� ������ �� ��� �������� ��� ������� ����� ��������������� ���� ��� ������ ������.

������ ������ ��� ����, ���������� ��������, ������ ��� ������� �����: �� $X_i$ ����������� ��� �������� �� ���� ���� 0 ��� ${{\bf E}\left[{X_1^2}\right]} = \sigma^2 < \infty$, ��� $S_n = X_1+\cdots+X_n$ ����, ��� ���� $\epsilon>0$,

\begin{displaymath}
{S_n \over n^{1/2} \log^{1/2 + \epsilon} n} \to 0,
\end{displaymath}

������ �������. ������������ ��� � ����������� ����� ��� ������� ����� ��� ������ ��� ���� ���� ����������� $n$ ���� ��� $n^{1/2} \log^{1/2 + \epsilon} n$ ��� ������ ����, ��� � ������ ����� ����� ���� �������� ��������.

4.14 5� �������

�������� 7.3, 8.1, 8.3, 8.4 ��� 8.5

4.15 ��, 19/3/02: � ��������� Chernoff ��� ���������

����������� �� ��������.

������� 2 (Chernoff)   �� $Y$ ����� �������� ����������� 0-1 ���������� ��� $\mu = {{\bf E}\left[{Y}\right]}$ ����
\begin{displaymath}
{{\bf {Pr}}\left[{{\left\vert{Y - \mu}\right\vert} > \epsilon\mu}\right]} < 2 e^{-c_\epsilon \mu},
\end{displaymath} (1)

����

\begin{displaymath}
c_\epsilon = \min{\left\{{\epsilon^2/2, -\log(e^\epsilon(1+\epsilon)^{-(1+\epsilon)})}\right\}}.
\end{displaymath}

����������: ���� $\epsilon \to 0$ ������ $c_\epsilon = \epsilon^2/2$ ��� ���� $\epsilon \to \infty$ ������ $c_\epsilon \sim \epsilon\log\epsilon$.

�� ������� ���� ��������������� ��������� �� ���������� ������������ ����� ��� ����� ������� ��������. ��� �� ���������� ���� ������ �������� ��������� ���, ������ ��� ������ ��� �� �������� ������� ��� Erdos.

������� 3 (Erdos, 1956)   ������� ������ ������� �������� $A$ ��� �������� $n_0, c_1, c_2$ ������� ���� �� $n \ge n_0$ �������� ����������� $c_1\log n$ ��� �� ���� $c_2 \log n$ ������������ �������������� ��� $n$ �� �������� ��� ��������� ��� $A$.

4.16 6� �������

������ ���������� ��� �� ��� ��� �� ����������� ��� �������� ��� �������� ���������� ��� Erdos.

4.17 ��, 22/3/02: �������� ��� ���������� Chernoff

���������� �� �������� ���� ���� �������� ��� ���������� Chernoff. ������������ ��� �������� ��� ������ "The Probabilistic Method" ��� N. Alon ��� J. Spencer (Appendix).

4.18 ��, 26/3/02: ��������������� Fourier �� $d$ ����������

������ ������� �� �������������� Fourier $L^1$ ����������� ��� ����� ������������ ������ ��� ${\mathbf R}^d$. ������ ��� �� $\widehat{\mu}$ ��� $\widehat{f}$ ����� ���������� �������� ��� ��������� ����������� ��� ��� (Riemann-Lebesgue) $\lim_{{\left\vert{\xi}\right\vert}\to\infty} \widehat{f}(\xi) = 0$ (�� ���� ��� ������ ��� �� $\widehat{\mu}$).

������� ��� ������ ��� Gauss $G(x)$ ��� ����������� �� �������������� Fourier ���

\begin{displaymath}
\widehat{G}(t) = (2\pi)^{d/2} G(t).
\end{displaymath}

������� �� �������� $L^1$ �����������, ���� ���������� �� ���� ������ ����� ��� ��� ������ ��� ������ �� ������ ���������

\begin{displaymath}
{\left\Vert{\mu*\nu}\right\Vert} \le {\left\Vert{\mu}\right\Vert}\cdot{\left\Vert{\nu}\right\Vert}.
\end{displaymath}

��� �� ��� ���� �� ����������� �� ������ ��� K. Stromberg Probability for Analysts.

4.19 ��, 28/3/02: ���������� ������. Fourier

������ ��������� ��� ��������� ����� ��� ��� ������ �������� ��� �������� * ��������� ������. ������ ��� � �������� �� ���������� ��� ������� ��������� (��� �������� �������) ��� ����������� ��� ������������ �� ��� ���������� (�. 1.9). ���� ������ ��� "�������������" �� ������. Fourier �� summability, ������ �� ����� ��� ����� ��� �� ������������ ��� ���������������. ������ ��� ���� ����������� ���� ��� � ������. Fourier ����� �������������, ����� ��� ��� ������ ��� Dini, ��� ��� ����� ��� ����� �������� ��� �� �������� �� ��������������� ��� �������� �� ��� ������ ����������� �� ������. Fourier ��� ����������. � ���� ��� ��������� �������� ��� ��� ���������� ���� ���� ���� �� ���������, ��� ��� ��� �������������� ���, ���� � ����� ����������� (��� ������� � ��������������� �� ����� �������������).

4.20 7� �������

��� �� ���. 14 ��� ������� (Stromberg): 1-4, 6, 7, 10, 11.

4.21 ��, 1/4/02: ������� Helly ��� tight ���������� ������ �����������

������ �� ����� ����������� �������� �� ��������� ��� $\mu_n(A) \to \mu(A)$ ����������� ��� $\mu_n \to \mu$ �������. ������� ���� ��� ��������� $\mu_n$ ������ ����������� ������� tight (���� �� ����� ����� ����� ���� ��� ��� ������� ������� ���������� ��� ��� �� $n$. ����� ������ �� ������� ��� Helly: �� � ��������� ������ ����������� $\mu_n$ ����� tight ���� ���� ������� ����������� �����������.

�� ���������� ��� ���� ����� � ����� ��� ���������� ������������� ��� Riesz ��� ��������������� ���� ����������: �� $T$ ����� ��� �������� �������� �������������� ��� ���� $C_0({\mathbf R}^d)$ (� ������ ���� ��� ���������� ����� - ��������, � ����� ��� ����� ������) ���� ������� ��� ����� ��� ${\mathbf R}^d$ �� �������� ����� ������� ������ ���� ��� ���� $\phi \in C_0({\mathbf R}^d)$ ������

\begin{displaymath}
T(\phi) = \int_{{\mathbf R}^d} \phi(x) d\mu(x).
\end{displaymath}

��������, �� �� $T$ ����� �� �������� (���. $\phi\ge0$ ����������� $T(\phi)\ge0$) �� ����� $\mu$ ����� �� ��������.

4.22 ��, 3/4/02: ������� ��������� ��� P. Levy

������ ������� �� ��������� ����� ��� �. ��������� ��� P. Levy. ������� ��� �� �� $\mu_n$ ����� ����� ����������� ��� ${\mathbf R}^d$ ��� $f:{\mathbf R}^d\to{\mathbf C}$ �.�. $\mu_n(t) \to f(t)$ ��� $t \in {\mathbf R}^d$, ���� �� $f$ ������� ��� 0 � ��������� $\mu_n$ ����� tight.

��� ��� �������� ��������������� ������ ������� Fourier. ���������� ��� ������ ��� Fejer $K(x) = (1-{\left\vert{x}\right\vert})^+$ � ������ ���� �� ��������� �������� �� ���� �� �������� $\widehat{K}$. ���������� �� ���� ��� ������ $\mu_n$ ���� �� ��� �������� $(-R, R)$ (������ ��� �������� ���� ��� ��� ��������-��� ������� ������ ������ ���� ������) ���� �� ���� ��� ��� ��������

\begin{displaymath}\int K(x/R) d\mu_n(x)\end{displaymath}

. ���� ��� �������� ��� ���������� ��������������� ������, ���. ��� ���������

\begin{displaymath}
\int \widehat{f(x)}  d\mu(x) = \int f(x) \widehat{\mu}(x)  dx.
\end{displaymath}

4.23 8� �������

��� �� ���. 26 ��� ������� (Stromberg): 2, 3, 4, 6, 7, 9.

4.24 ��, 9/4/02: ����� ���������� ���������. ��������� �.�.

���������� ��� �������� ��� �. ��������� ��� Levy. ������ ��� ���� ����������� ��� �� ������ ����� ����������� ��� ���������� ���� ������ �� ������ ���� ����� �����������, ���� ���������� �� ���� ���������� ��� ������� ��� ${\mathbf R}^d$ ��� �������.

�������� �� �������� ��� ��� ���������� ������ ��������� ��� ��������� ������ �����������.

4.25 ��, 12/4/02: ��������� ������ Gauss.

���������� ������ �� �������� ��� ��������� ��� �� �� �������� ��������. ������ ��� ����� ��������������� ��� �� �������������� ���� ��������� (�������������� Fourier ��� ��������� ����) � ����� ������ �� ����� ��� ������

\begin{displaymath}
{{\bf E}\left[{e^{itX}}\right]} = e^{i t\cdot m} e^{-{1\over 2}Q(t)},
\end{displaymath}

���� $m$ ����� � ���� ���� ��� ������� ����������� $X$ ��� $Q$ ����� ��� ������ ����������� ����������� �����.

4.26 ��, 16/4/02: �������� ��������� ������� ����������

������ ������� ��� �������� �� ������������ ��� ���������� ��� ��������������� ���������� $f(t) = {{\bf E}\left[{e^{itX}}\right]}$ ���� �� $X$ ���� ��� ����� ��� $X$ (��� ����� ��� ��������� ��� $0$).

��������������� ���� ��� �� �������� �� �������� ������ ������� Lindeberg-Levy.

4.27 ��, 18/4/02: ���� ��������

������ ������������ �� ���� �������� ���� �� �������� ��� ��������� (����� ��� ������� 14 ��� �������).

4.28 9� �������

��� �� ���. 106 ��� ������� (Stromberg): 1, 2, 3, 14, 17, 18, 20, 22.

4.29 ��, 13/5/02: ��������� �� ������ ������ �����������

��� ������ $A \subseteq {\mathbf R}$ ������� universal in measure �� ��� ���� ������ $E \subseteq {\mathbf R}$ �� ������ ����� ������� ��� $x \in {\mathbf R}$ ��� $t>0$ ������ ���� $x+tA \subseteq E$. ������� ������ ��� ����������� �������� ��������� ��� $A$ ���� �� ���� ������ ������� ������.

��������� ��� �������� ���� ������� ���������� ���� ������� $E$ �� ������ ����� ������ ������ ������ ��� ��� �� ����������� ������ ����� universal in measure. ������� ��� ������� ��� Erdos ��� ���� ��� ��� �������� ������ ������ ��� �� ����� universal. ���� ��� ���� ����������.

������� ������ ��� ��������������� ���������, ��������� ���� ������� ������� $A$, ��� ������������ ��� ������ $E$ ������� ������ �.�. �� ������

\begin{displaymath}
{\left\{{(x,t): x+tA \subseteq E}\right\}}
\end{displaymath}

���� (����������) ����� �����. �������� ������ ��� $A$ �������� ��� ������ $E$ ��� ��� �������� ������ ������ �������� ��������� ��� $E$.

�������� �� ������ ��� ������������ �� ���� ��� ��� �������.

4.30 ��, 15/5/02: ��������� �� ������ ������ �����������

������� ���'����� �� �������� ���� ������� �������:

������� 4   ���� $a_{ij}, i=1,\ldots,n_1, j=1,\ldots,n_2$, ������� ��������� �������, �� ${\left\vert{a_{ij}}\right\vert} \le 1$. ���� ������ $p_1,\ldots,p_{n_2} \in [0,1]$ ��� �� �� $\xi_1,\ldots,\xi_{n_2}$ ����� ����������� ���
\begin{displaymath}
\xi_j = \left\{\begin{array}{ll}
1-p_j & \mbox{with probabi...
...
-p_j & \mbox{with probability $1-p_j$},
\end{array}\right.
\end{displaymath} (2)

����, �� ���������� ��� ������ ��� 1 ���� $n_1 \to \infty$

\begin{displaymath}
{\left\vert{\sum_{j=1}^{n_2} a_{ij} \xi_j}\right\vert} \le C \sqrt{n_2 \log n_1},
  \mbox{for all $i=1,\ldots,n_1$},
\end{displaymath}

���� $C$ ����� ��� ������� �������.

��������������� ���� ������� �� �������� ������� ��� ����� �� �������������� ���������:

������� 5   (Salem��� Zygmund) ���� $f_1(x), \ldots , f_n(x)$, �������������� ��������� ������ �� ���� $m$, ��� $\xi_1, \ldots , \xi_n$ ����� ����������� ��
\begin{displaymath}
\xi_j = \left\{\begin{array}{ll}
1-p_j & \mbox{with probabi...
...
-p_j & \mbox{with probability $1-p_j$},
\end{array}\right.
\end{displaymath} (3)

��� ������ $p_j \in [0,1]$. ��������

\begin{displaymath}
f(x) = \sum_{j=1}^n \xi_j f_j(x).
\end{displaymath}

����, ��� ������ $C > 0$,

\begin{displaymath}
{{\bf {Pr}}\left[{{\left\Vert{f}\right\Vert _\infty} \le
C ...
...log m\right)^{1/2}}\right]}
\to 1,  \mbox{as $m\to\infty$}.
\end{displaymath}

��������������� ����� �� ������� Salem- Zygmund ��� �� ������� ��� ��������������� ��������� ��� ��� �������������� ���������

\begin{displaymath}
p(x) = M + \sum_{j=1}^{cN} \cos{\lambda_j x} \ge 0
\end{displaymath}

�� $c>0$ ��� ������� �������, �� $\lambda_j$ ������������� ��������� ���

\begin{displaymath}
M \le C \sqrt{N \log N}.
\end{displaymath}

�� $C > 0$ ��� ������� �������.

������������ ������������ ���.

4.31 ��, 21/5/02: ��������� �� ������ ������ ��� �����������

������ ��������������� ��� ��������� ��� �. Salem- Zygmund��� �� �������� ��� ���� �������:

������� 6 (Bourgain)   ������� ������� ������� $C > 0$ ������ ���� ��� ���� $N$ �������� ������� ������������ �������� $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ ���� ����

\begin{displaymath}
{\left\Vert{\sum_{j=1}^N \sin{\lambda_j x}}\right\Vert _\infty} \le C N^{2/3}.
\end{displaymath}

� ���������� ��� �������� ����� $N$ ��� � �������� ��� ������ ��� ���� ����� $\ge N^{1/2}$ ��� ��� � $\infty$-����� ������� ��� 2-�����.

4.32 ��, 23/5/02: ��������� �� ������ ������ ��� �����������

������� ������ �� ������ ��� ����������� ��� ������� (method of conditional probabilities) ��� ��� ����������� ��������� ������������ ��� ������ � ������ ���� ���������� ���������������. ����� ��� ���� ������� ��������� �������, ��� ��������� ������ ����� �� ������������ ������ ������� �� ����������� ����.



Mihalis Kolountzakis 2002-05-24